Chapter 5

확률함수는 Sample space가 달라도 확률이 같을 수 있다. 예를 들어, 주사위에서 홀수가 나오면 1이라 하고 동전에서 앞면이 나오면 1이라 할 때, 두 경우 모두 은 0.5로 같다.

1. Bernoulli and binomial r.v.

가 Bernoulli r.v. 라 하면, 이벤트는 “성공”, “실패” 처럼 두 가지 경우밖에 없다. 성공을 , 실패를 이라 한다면, 이라 할 수 있다.

이 경우, 를 항상 만족. 분산의 경우, 이다.

이라 하고 각각의 는 번째 시행이고 서로 independent 할 때, 라 표기하고 가 binomial r.v.라 한다.

2. Poisson r.v.

Definition

discrete r.v.에 대해, 의 값이 이면 Possion random variable 이다.

Moment generating function of Poisson

에서, 평균과 분산이 로 같은것은 포아송 분포의 특징!

가 포아송 분포이고 각각 를 가지면, 에 대해, 는 를 가진다.

. 포아송 분포의 distribution이 같으면 m.g.f도 같다.

3. Hypergeometric r.v.

멀쩡한 개와 불량품 개 중 개를 뽑을때 멀쩡한거 개를 뽑을 확률

2. By this, 모든 시행에서 확률이 같지만, 그렇다고 각 시행이 independent 한 관계는 절대 아님!

4. Unifrom r.v.

Definition.

Random variable 는 에서 uniformly distributed.

Example e.

Random vector 는 two-dimensional region 에 대해 uniform distribution을 갖고있다.

• Let . Then,

5. Normal Distribution

Definition

, is normally distributed with

1. 에 대해 Symmetric 하다

6. Let

9. 각 는 전부 independent라 가정하면,

Definition of

Definition of

6. Exponential r.v.

Definition

is continuous r.v. exponential random variable or exponentially distributed with parameter

1. Cumulative distribution function

Memoryless 성질

proof.

형광등은 몇 년 쓴거랑 새거랑 기대수명이 똑같다

8. Distributions arising from the Normal

A. Chi-Square Distribution

Definition

p.d.f 는 교수님이 어려워서 생략

• for

• 분산은 증명해보세용

B. t-Distribution

Definition

for every are independent.

• 이 커질수록 에 가까워짐. 실제로 만 되어도 비슷한 양상을 띔

• 을 중심으로 symmetric 함

• for

C. F-Distribution

Definition

• ??